Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Εξίσωση θερμότητας ($\partial_{t} u-\sigma \nabla^2 u=0$)

Σε πεπερασμένο χωρίο

Στήσιμο ΜΔΕ

Clear["Global`*"]
PDE = D[u[x, t], t] - D[u[x, t], {x, 2}] == 0;
u[x, t] = X[x]*T[t]
PDE = D[u[x, t], t] - D[u[x, t], {x, 2}] == 0
\(T[t] X[x]\)
\[X[x] (T')[t]-T[t] (X'')[x]=0\]

Αρχικές συνθήκες

init = u[x, 0] == f[x]
\[u(x,0)=f(x)\]

Συνωριακές συνθήκες

bound1 = u[0, t] == 0
bound2 = u[L, t] == 0
\[u(0,t)=0\]
\[u(L,t)=0\]
PDE[[1]]/(X[x] T[t]) // Apart
\[\frac{(T')[t]}{T[t]}-\frac{(X'')[x]}{X[x]}\]

Έχουμε

ODEt = Derivative[1][T][t]/T[t] == λ
ODEx = X''[x]/X[x] == λ
\[\frac{(T')[t]}{T[t]}=\lambda\]
\[\frac{(X'')[x]}{X[x]}=\lambda\]

Όπως και στην περίπτωση της εξίσωσης κύματος, οι περιπτώσεις $λ\geq0$ απορρίπτονται. Άρα:

λ = -k^2
ODEx
ODEt
ODEx = X''[x] + k^2 X[x] == 0
ODEt = T'[t] + k^2 T[t] == 0
\(-(k^{2})\)
\[\frac{(X'')[x]}{X[x]}=-(k^{2})\]
\[\frac{(T')[t]}{T[t]}=-(k^{2})\]
\[(k^{2}) X[x]+(X'')[x]=0\]
\[(k^{2}) T[t]+(T')[t]=0\]

Λόγω των συνοριακών συνθηκών έχουμε πάλι:

DSolve[{ODEx, X[0] == 0, X[L] == 0}, X[x], x]
\[{{X[x]\to \begin{cases}C_{1} \sin((\sqrt{k^{2}}) x) & n \in Integers\mathbin{\&\&}n >=1\mathbin{\&\&}k^{2}=\frac{({n }^{2}) ({\pi }^{2})}{L^{2}}\mathbin{\&\&}L>0 \\ 0 & True\end{cases}}}\]

Έχουμε ιδιοτιμές τις (nπ)/L και ιδιοσυναρτήσεις τις sin((nπ x)/L).

k = (n Pi)/L
DSolve[{ODEx, X[0] == 0, X[L] == 0}, X[x], x]
DSolve[ODEt, T[t], t]
\[\frac{n \pi }{L}\]
\[{{X[x]\to \begin{cases}C_{1} \sin(\frac{n \pi x}{L}) & n \in Integers\mathbin{\&\&}(n=2 n \mathbin{|}n=\frac{\pi +2 n \pi }{\pi }) \\ 0 & True\end{cases}}}\]
\[{{T[t]\to (E^{-\frac{(n^{2}) ({\pi }^{2}) t}{L^{2}}}) C_{1}}}\]

Έχουμε ότι η $u_n(x,t)=\exp(-\frac{n^2 \pi^2 t}{L})\sin(\frac{n \pi x}{L})$ ικανοποιεί τη Μ.Δ.Ε. και τις αρχικές συνθήκες. Το ίδιο συμβαίνει και με κάθε γραμμικό συνδυασμό της. Θα ψάξουμε να βρούμε ποιος ικανοποιεί και την αρχική συνθήκη. Θέλουμε:

$\sum_{n=1}^{\infty} c_n u_n (x,0)=f (x)\Leftrightarrow \sum_{n=1}^{\infty} c_n \sin(\frac{n \pi x}{L})=f(x)$

Πολλαπλασιάζουμε εσωτερικά τα δύο μέλη της τελευταίας ισότητας και λαμβάνουμε υπ' όψιν την ορθογωνιότητα των ημιτόνων. Έτσι:

c[n_] := Assuming[Element[n, Integers], Integrate[f[x]*Sin[(n π x)/L], {x, 0, L}]/Integrate[Sin[(n π x)/L]^2, {x, 0, L}]]
c[n]
\[\frac{2 (\int_{0}^{L} f(x) \sin(\frac{n \pi x}{L}) \,dx)}{L}\]

Έτσι, η προσέγγιση της λύσης με $n_0$ όρους είναι η:

un[x_, t_, n_] := c[n] E^(-((n^2 π^2 t)/L^2)) Sin[(n π x)/L]
uApprox[x_, t_, n0_] := Sum[un[x, t, n], {n, 1, n0}]
uApprox[x, t, 4]
\[\frac{2 (E^{-\frac{({\pi }^{2}) t}{L^{2}}}) (\int_{0}^{L} f(x) \sin(\frac{\pi x}{L}) \,dx) \sin(\frac{\pi x}{L})}{L}+\frac{2 (E^{-\frac{4 ({\pi }^{2}) t}{L^{2}}}) (\int_{0}^{L} f(x) \sin(\frac{2 \pi x}{L}) \,dx) \sin(\frac{2 \pi x}{L})}{L}+\frac{2 (E^{-\frac{9 ({\pi }^{2}) t}{L^{2}}}) (\int_{0}^{L} f(x) \sin(\frac{3 \pi x}{L}) \,dx) \sin(\frac{3 \pi x}{L})}{L}+\frac{2 (E^{-\frac{16 ({\pi }^{2}) t}{L^{2}}}) (\int_{0}^{L} f(x) \sin(\frac{4 \pi x}{L}) \,dx) \sin(\frac{4 \pi x}{L})}{L}\]

Ας δούμε τι πετύχαμε.

L = 2 Pi;
f[x_] := x^2
uApprox[x, t, 4]
\[\frac{8 (E^{-t/4}) (-4+{\pi }^{2}) \sin(\frac{x}{2})}{\pi }-4 (E^{-t}) \pi \sin(x)+\frac{8 (E^{-9 t/4}) (-4+9 ({\pi }^{2})) \sin(\frac{3 x}{2})}{27 \pi }-2 (E^{-4 t}) \pi \sin(2 x)\]
Table[Plot3D[Evaluate[uApprox[x, t, n]], {x, 0, L}, {t, 0, 10}], {n,  2, 6}]
3D Plot
3D Plot
3D Plot
3D Plot
3D Plot
Plot3D[Evaluate[uApprox[x, t, 20]], {x, 0, L}, {t, 0, 10}, AxesLabel -> {"x","t"}]
3D Plot